极限的定义

精确定义

如果对任意$\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$ 使得当 $0<|x-a|<\delta$ 是$|f(x)-L|<\varepsilon$.我们称 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L$

通俗定义

只要我们让 $x$ 充分靠近 $a$ ($a$的两侧，不要求$x=a$ )， $f(x)$ 就可以足够靠近$L$.我们称 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L$

单侧极限

右极限: $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L$. 定义在上述极限定义基础上要求 $x>a$.

左极限: $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L$. 定义在上述极限定义基础上要求 $x<a$.

无穷大处的极限 :当 $x$非常大时，$f(x)$足够靠近$L$，我们称$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L$

极限与单侧极限的关系

$$ \begin{gathered} \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L \quad \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \\ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x) \text { Does Not Exist } \end{gathered} $$

函数极限的性质

假设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$和 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$都存在，且$c$是一常数,则

1. $\lim _{x \rightarrow a}[c f(x)]=c \lim _{x \rightarrow a} f(x)$
2. $\lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}$ provided $\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0$
3. $\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)$
4. $\lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{n}=\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right]^{n}$
5. $\lim _{x \rightarrow a}[f(x) g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \lim _{x \rightarrow a} g(x)$
6. $\lim _{x \rightarrow a}[\sqrt[n]{f(x)}]=\sqrt[n]{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}$

一些技巧

连续函数

如果 $f(x)$在 $a$处连续且$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$

函数$f(x)$在 $b$处连续且 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=b$ 那么 $\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=f\left(\lim _{x \rightarrow a} g(x)\right)=f(b)$

因式分解及约分

$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+4 x-12}{x^{2}-2 x} &=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+6)}{x(x-2)} \\ &=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+6}{x}=\frac{8}{2}=4 \end{aligned} $$

分子/分母有理化

$$ \begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{x^{2}-81}=\lim _{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{x^{2}-81} \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 9} \frac{9-x}{\left(x^{2}-81\right)(3+\sqrt{x})}=\lim _{x \rightarrow 9} \frac{-1}{(x+9)(3+\sqrt{x})} \\ &=\frac{-1}{(18)(6)}=-\frac{1}{108} \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} &\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}\right) \\ &\quad=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{-h}{x(x+h)}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^{2}} \end{aligned} $$

洛必达法则(L'Hospital's Rule)

如果$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$ 或 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$

那么, $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} a$ 是一个数, $\infty$ or $-\infty$

$p(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式函数.为了计算 $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{p(x)}{q(x)}$ 分解出$q(x)$和$p(x)$ 中$x$最大的指数项，然后计算极限.

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{2}-4}{5 x-2 x^{2}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}\left(3-\frac{4}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(\frac{5}{x}-2\right)}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3-\frac{4}{x^{2}}}{\frac{5}{x}-2}=-\frac{3}{2}$

分段函数

$\lim _{x \rightarrow-2} g(x)$其中 $g(x)= \begin{cases}x^{2}+5 & \text { if } x<-2 \\ 1-3 x & \text { if } x \geq-2\end{cases}$ 计算单侧极限, $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} g(x)=\lim _{x \rightarrow-2^{-}} x^{2}+5=9$

$\lim _{x \rightarrow-2^{+}} g(x)=\lim _{x \rightarrow-2^{+}} 1-3 x=7$

如果左右极限不同则 $\lim _{x \rightarrow-2} g(x)$ 不存在.左右极限相同 $\lim _{x \rightarrow-2} g(x)$ 则极限存在。

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